ГЕОМЕТРИЈА

ГЕОМЕТРИЈА (грч. gh': земља, mevtron: мера), једна од најстаријих математичких дисциплина, која изучава просторне објекте (тачке, линије, површи) и њихове односе. Емпиријски почеци везани су за астрономска посматрања у Месопотамији и премеравања земље у Египту. У Александрији, у III в. п.н.е., настали су Еуклидови Елементи: обухватали су скоро сва математичка знања тог времена и преко две хиљаде година служили као образац математичког мишљења, тако да су до пре сто година коришћени и као уџбеник г. у средњим школама. Истовремено, према Кулиџу, „сумњама око Еуклидовог постулата о паралелним правама и напорима многих генерација мислилаца да разреше те сумње, дугујемо, између осталог, модерни, апстрактни концепт математичке науке" (J. L. Coolidge). Као пример, довољно је навести Хилбертове Основе геометрије (Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899), где се не дају ни опис ни дефиниција тачке, праве и равни. Говори се само о три врсте објеката који задовољавају одређене почетне услове. Диференцијални и интегрални рачун, један од изузетних проналазака људског ума, настао је на основу напора многобројних аутора да одреде тангенте и кривине равних и просторних кривих. Затим су тај рачун Ојлер, Гаус и Риман као и многи други, успешно примењивали на решавање разних геометријских проблема и при том отварали и стварали нове области истраживања. Овде треба споменути и Декартову Геометрију (La Geometrie), као један од три додатка уз његов спис Реч о методи (Discours de la method pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences, Leiden 1637), која је, скоро у исто време, једном заувек, повезала алгебру и г. Први уџбеник г. на српском језику је Елементарна геометрія: устроєна за употребленіє слишателя філософіє у Ліцеуму Княжества Сербіє (Бг 1841) Атанасија Николића. Садржај обухвата планиметрију, тригонометрију и стереометрију, а одговара ономе што се и данас из г. изучава у средњим школама. Убрзо по оснивању Математичког института САНУ (1946) преведена су, у оквиру едиције Класични научни списи, три историјска капитална дела из г. То су 13 књига Еуклидових Елемената (1949--1957, превод Антон Билимович), Основи геометрије (1957, превод Ж. Гарашанин) Давида Хилберта и Геометријско испитивање из паралелних линија (1951, превод Бранислав Петронијевић) Николаја Лобачевског. До почетка 30-их година прошлог века на Београдском универзитету г. се није адекватно предавала и неговала.

На Одсеку за математику Филозофског факултета у Београду први курс синтетичке г. установљен је 1938. под називом Елементарна г., да би 1945. била уведена још два курса: Нацртна г. и Виша г. Курс Елементарна г. није само први аксиоматски заснован курс синтетичке г. него уопште прво аксиоматско излагање неке математичке дисциплине на Београдском универзитету. Штавише, у књизи Елементарна геометрија (Бг 1961) насталој на основу овог курса, Милош Радојчић је изложио свој прилаз аксиоматици еуклидске г., заснован на само једном објекту (тачка) и на само две релације (између и подударно). Милош Радојчић је, такође, изградио аксиоматику специјалне теорије релативности (Une construction axiomatique de la théorie de l'espace-temps de la relativité restreinte, Бг 1973). Филозофски факултет у Новом Саду почео је са радом школске 1956/57. Од предмета посвећених г. студенти математике су слушали: Нацртну г., Основе г., Пројективну г., Нееуклидске г. и Диференцијалну г. Прво предавање посвећено г. одржао је академик Радивоје Кашанин, а први наставник била је Милева Првановић. Она је први доктор математике из области г. у Србији, а на Универзитету у Загребу 1955. докторирала је код професора Данила Блануше из области парагеодезијских кривих и парагеодезијских простора. За њеног асистента је 1960. изабрана Јудита Цофман која је 1963. докторирала тезом из области г. и тиме постала први доктор математике са Универзитета у Новом Саду. На Београдском Универзитету прва је из г. докторирала Загорка Шнајдер 1960. Филозофски факултет у Нишу почео је са радом школске 1971/72, а студенти математике су од геометријских предмета слушали: Нацртну г., Основе г., Аналитичку г. и Диференцијалну г. Први наставник г. био је Светислав Минчић. У Крагујевцу је школске 1972/73. почело са радом Одељење ПМФ из Београда, које је 1976. постало самосталан ПМФ у Крагујевцу. Од геометријских предмета студенти математике су слушали: Нацртну г., Основе г. (Еуклидска г. и г. Лобачевског), Аналитичку г., Диференцијалну г.

Развоју г. код Срба на темељу доприноса Н. Лобачевског и његове примене на специјалну теорију релативности дао је Владимир Варићак. На даљем развоју синтетичке г. радили су Драгомир Лопандић и Зоран Лучић, Драгољуб Цветковић, а Мирољуб Милојевић је, полазећи од пројективних модела, разрађивао аксиоматике нееуклидских г. у равни. На методама нацртне г. у простору Лобачевског радили су Загорка Шнајдер и Ћемал Долићанин. Јудита Цофман је добила значајне резултате у теорији коначних пројективних равни. Драгослав Љубић се бавио н-димензионалним групама изометрија. Мирјана Бабић и Срђан Букмировић су поставили и решили неке проблеме визуализације простора Лобачевског. На теорији линкова и чворова радили су Славик Јаблен, Радмила Саздановић и Љиљана Радовић, а Милица Стојановић -- на хиперболичним групама. Класификацији равних дисконтинуираних група посвећен је један рад Зорана Лучића. На визуализацији, анимацији и развоју софтвера, пре свега у домену класичне диференцијалне г., радила је Весна Величковић.

Диференцијална г. је од времена Ојлера, Гауса и Римана до данас постала веома разграната математичка дисциплина. Осим посебних г., као што су Риманова и њена многобројна уопштења (Финслерова, Вејлова, Вокерова, Риман-Отсукијева, Вејл-Отсукијева), изучавају се диференцијабилне многострукости које су снабдевене симетричном или несиметричном афином конексијом, одређеном алгебарском структуром (Хермитове и сличне многострукости), подмногострукости, геодезијска, пројективна, холоморфно-пројективна и конформна пресликавања. Свим овим истраживањима значајан допринос дали су српски математичари: Неда Бокан, Новица Блажић, Љубица Велимировић, Срђан Вукмировић, Мирјана Ђорић, Ђерђи Нађ, Емилија Нешовић, Јованка Никић, Стана Никчевић, Мирослава Петровић Торгашев, Милева Првановић, Невена Пршић, Зоран Ракић, а Ирена Чомић је, осим у Финслеровој г., интензивно радила у области Лагранжових, Хамилтонових као и оскулаторних простора вишег реда, а Мирјана Ђорић у теорији CR-подмногострукости комплексних простора. Ивко Димитрић је обрађивао проблематику подмногострукости коначног типа, а Оливера Миленковић се бавила фином резолуцијом праменова клица векторских поља на реалним и комплексним многострукостима.

Радећи на разним варијантама Јединствене теорије поља, А. Ајнштајн је, почев од 1950, користио несиметричан метрички тензо, чији се симетрични део односи на гравитацију, а несиметрични -- на електромагнетизам. Докторска дисертација Светислава Минчића (1975), а затим и многобројни његови радови посвећени су овој теорији. На њеном даљем развоју и уопштавању, осим С. Минчића, радили су: Љубица Велимировић, Милан Златановић и Мића Станковић. У последње време Бранко Драговић и Зоран Ракић (са сарадницима) баве се проблемима модификације Ајнштајнове теорије гравитације.

На теорији декомпозиција разних кривинских оператора и њиховој геометријској реализацији, радиле су Неда Бокан, Стана Никчевић и Зоран Ракић, а на примени спектралне г. на афину, пројективну и Вејлову г. -- Неда Бокан, Новица Блажић и Стана Никчевић. Геометријске структуре одређене малим геодезијским сферама, изучавале су Неда Бокан и Мирослава Ђорић, а мале деформације површи -- Љубица Велимировић и Милица Илић Дајовић.

Многе особине диференцијабилних многострукости које су снабдевене недефинитном метриком су специфичне и захтевају посебне методе истраживања. Применом Јакобијевог оператора, Владица Андрић, Неда Бокан, Новица Блажић, Срђан Вукмировић и Зоран Ракић изучавали су Осерманове, конформно-Осерманове и Лоренц-Осерманове многострукости, као и принцип дуалности (познат као Ракићев принцип дуалности) таквих многострукости.

Такође су специфични и многи проблеми диференцијабилних многострукости малих димензија. И у овој области, српски математичари су дали значајан допринос. Тако је Мирослава Антић испитивала 3 и 4-димензионе подмногострукости сфере S^6^ -- еквидистантне инволуције хиперболичне равни, низове минималних површи, а Новица Блажић, Неда Бокан и Срђан Вукмировић -- одређене 4-димензионе Лиове алгебре. Примере аутодуалних Ајнштајнових метрика сигнатуре (2,2) дали су Новица Блажић и Срђан Вукмировић, а примере косих површи у близу-Келеровој сфери S^6^ -- K. Обреновић и Срђан Вукмировић. Решење Јанг-Милових једначина на уопштеним Хопфовим свежњевима дали су Блажић и Вукмировић. Показало се да су тзв. δ-кривине (које је раних 90-их година увео Б. Ј. Чен) веома погодне за испитивање и повезивање унутрашњих и спољашњих инваријаната подпростора псеудо-Риманових простора. У овој области значајне резултате добила је Мирослава Петровић Торгашев.

ЛИТЕРАТУРА: В. Драговић, Д. Милинковић, Анализа на многострукостима, Бг 2003; М. Đorić, M. Okumura, CR -- Submanifolds of Complex Projective Space, New York -- Dordrecht -- Heidelberg -- London 2009; З. Лучић, Огледи из историје античке геометрије, Бг 2009; С. Минчић, Љ. Велимировић, Диференцијална геометрија многострукости, Ниш 2011.

М. Првановић