БРОЈЕВИ

БРОЈЕВИ, у математици су апстрактни појмови настали у поступцима пребројавања и мерења. Симболи којима се б. означавају називају се цифре или нумерали. У природном језику реч б. уобичајено се користи и за апстрактни појам б. и за симболе који их представљају, па и за речи -- имена б., односно за речи из језичке скупине која се у лингвистици назива б. Отуда су б. предмет изучавања и математике и лингвистике. У давнини пастири су бројали своја стада урезивањем у рабош по једне црте за свако грло у стаду. Од званичног почетка српске писмености у IX в. б. су се записивали словном нумерацијом по угледу на византијски систем и старословенску нумерацију. У Буквару Инока Саве из 1597. тај запис је прилагођен ћириличним словима. Изнад одговарајућег слова пише се титла (тилда), па такав запис (симбол) представља б. чији изговор или значење нису дати. Арапских цифара нема. Потпуни систем арапских цифара и основних операција са б. записаним тим цифрама дат је у првој српској аритметици В. Дамјановића из 1767. У Вуковом буквару из 1827. упоредо су дати тзв. знаци б.: „црквени" б. (непозициона словна нумерација), арапски („обични") б. (позициона декадна нумерација) и римски („латински") б. У математици су б. полазни појмови помоћу којих се изграђују остале основне математичке структуре. Главно место у томе имају природни б. 0, 1, 2, ... Скуп природних б. уобичајено се означава са N и у њему се могу извршити основне аритметичке операције сабирања и множења, као и операција степеновања. Полазећи од потребе могућности извршавања одузимања и дељења као инверзних операција сабирања и множења, скуп природних б. се проширује редом скуповима целих б. чији су елементи . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . ., рационалних б. облика p/q (где су p и q цели бројеви и q различито од нуле) и ирационалних б. који се не могу записати у том облику (могу се представити у бесконачном непериодичном децималном облику) и скупом реалних б. који чине и рационални и ирационални б. Да би се операција кореновања као инверзна степеновању могла увек извршити, уводи се скуп комплексних б. који су облика a+bi, где су a и b реални б., а i=√-1. Елементи теорије б. постоје већ у списима старогрчких математичара. Tо је једна је од најстаријих дисциплина математике која је и у данашње време веома актуелна. Тврђења у теорији б. често имају једноставну формулацију, али докази могу бити изузетно тешки, а решења се могу налазити у на први поглед далеким областима математике. Пример те врсте је последња Фермаова теорема формулисана 1637, коју је, упркос напорима многих славних математичара, доказао тек 1995. А. Вајлс. Та теорема једно је од најчувенијих тврђења математике. Неки искази теорије б. још увек су само хипотезе иако потичу још из античких времена. У покушајима њиховог доказивања често су настајале нове области математике. Једна таква хипотеза је Риманова из 1859, данас најславнији нерешен проблем математике. Некада чисто теоријска дисциплина, данас је теорија б. нашла изузетно важне примене у криптографији, науци која се бави шифрирањем, дешифровањем и заштитом података математичким средствима. Од наших научника, најзначајније и најмногобројније резултате из теорије б. дао је А. Ивић, два запажена резултата, од којих је један последица његових познатих тауберовских теорема, дао је В. Г. Авакумовић. Теоријом б. такође су се бавили М. Петровић, Ј. Карамата и Ђ. Курепа.

Ж. Мијајловић

У лингвистици б. су врста речи која представља основно средство нумеричке квантификације у српском језику. Морфолошки и синтаксички б. су доста разноврсни, а од осталих врста речи разликују се пре свега значењем. Деле се на основне (пет), редне (пети), збирне (петоро) и б. сложених целина (петори), који се у савременом српском језику ретко користе. Нумеричка квантификација изражава се и бројевним именицама (са значењем основних б., нпр. милион, с мушколичним значењем, нпр. петорица, са значењем приближности, нпр. десетак и др.), бројевним придевима (амплификативним као петострук) и прилозима (мултипликативним, нпр. двапут, социјативним, нпр. удвоје, темпоралним, нпр. двократно и др.), као и разломачким изразима састављеним од основног б. и бројевне именице (нпр. две петине) и др. Према степену формалне сложености б. су прости (пет), изведени (петнаест), сложени (петсто) или вишечлани (петсто пет).

Од више лексичко-граматичких класа б., нajрeгулaрниjи oднoс пoстojи измeђу oснoвних и рeдних б. jeр (1) прeмa скoрo свaкoм oснoвнoм б. пoстojи рeдни б. сa истoм oснoвoм (десет-Ø -- десет-и), (2) oснoвни и рeдни б. имajу зajeдничкo oпштe знaчeњe б., а редни имају као диференцијално и знaчeњe места у линеарно уређеном скупу, (3) oпoзициja измeђу oснoвних и рeдних б. oбухвaтa вeoмa вeлики (нaчeлнo нeoгрaничeни) скуп јединица, што су обележја карактеристична за грaмaтичкe кaтeгoриje (висoк стeпeн oбaвeзнoсти знaчeњa, висoкa рeгулaрнoст изрaжaвaњa тoг знaчeњa и ширoк oбим скупa лeксeмa зa кoje дaтo знaчeњe вaжи).

Основни б. су значењски најједноставнији и садржани су у значењима других класа б. и бројевних речи, нпр. десети -- 'пoслeдњи у низу oд десет', оба -- `сви, а укупно два`, удвоје -- `два/две/двоје заједно`. Већина основних б. у српском језику су непроменљиве речи, осим б. један који има придевску парадигму и конгруира с именицом коју одређује (један дан, једна ноћ, једно јутро) и б. два/две, три и четири, са засебним падежним парадигмама, чији се коси падежи све ређе употребљавају, што важи и за све вишечлане основне б. који се поменутим б. завршавају, нпр. двадесет два. Редни б. имају придевску парадигму, а збирни б. засебан тип парадигме. Коси падежи збирних б. двоје, троје, четворо ретко се користе, а виши збирни б. (петоро итд.) су непроменљиви. Редни б., слично придевима, обично имају функцију атрибута у именичкој синтагми, нпр. десети посетилац, али могу бити синтаксички употребљени и као именице, у функцији субјекта (Први добија награду). У множини се редни б. ретко користе, обично уз именице pluralia tantum (прве санке, друга врата и сл.).

За конгруенцију б. један, два, три, четири и оба/обе с именицом коју количински одређују карактеристично је да б. један конгруира с главним чланом именичке синтагме према којем се налази у атрибутском односу, а пошто се јединичност може исказати и самим именичким обликом једнине, б. један се често може изоставити ако није комуникативно наглашен (У соби је био (један) сто). Б. два, три и четири, као и б. оба, употребљавају се с именицом у облику мале нумеричке множине -- паукала (→ број), двe књиге, два романа, два писма, а виши основни б. конгруирају с именицом у облику велике нумеричке множине, пет књига, пет романа, пет писама.

П. Пипер

У етнологији б. код многих народа, па и код Срба, представљају средство комуникације. То је вербално именовање гестовних знакова или знакова показатеља насталих стварањем аналогије између делова тела (по правилу прстију) и јединица скупа предмета који се квалификују. Одавно је уочено да б. нису само мера за количину него у разним облицима културе имају одређену симболичку фукцију. Б. често остварује класификаторску функцију -- дели обележени део стварности од необележеног, затворено од отвореног, коначно од бесконачног, космос од хаоса. Повезан је с ритмом и у вези је с временом и простором.

Према веровању код српског народа, б. су магични и поседују веома значајна својства у систему веровања (каже се једно је Сунце, Месец, Земља), два су ока, уха, руке. Да се не би навукло некакво зло, држи се у тајности колико неко има деце, стоке, кошница с пчелама, насађених јаја под квочком. У систему б. поједини имају изразит значај за народно тумачење појава или радњи те се и јављају много чешће од неких других (нпр. 3, 2, 12, 7 или 9). Б. 13 у српској традиционалној култури није имао неко посебно значење све до савременог доба. Осим овог, у српском народу издвајају се парни и непарни, добри и лоши бројеви. У Шумадији се веровало да неће бити напретка у домаћинству ако б. стоке падне на 3, 7 и 13. Уколико у кући умру двоје у краћем временском року, очекује се и трећа смрт. У прошлости је било опште прихваћено да непарни б. могу представљати позитивно и да нису увек окренути лошем предзнаку. Такође, парни б. 2, 12, 40 указивали су на срећне прилике. Често се б. 2 прихватао као једно с два лика. Непарни б. имају значај за многе обреде у српској народној религији, али и у усменом стваралаштву. У том контексту посебно место има б. 3 -- три суђенице, три свеће за Бадње вече итд. Симболика б. 3 има велики интензитет у народним бајањима, бајкама и епским песмама. Сматра се да б. 3 представља идеални модел сваког процеса који претпоставља три етапе стварање--развитак--нестајање. Б. 9, последњи у низу једноцифрених б., представља границу ка новом простору, нивоу. Односи се на преобраћање, прелаз, промену. У нашим обичајима тако девет баба плете кошуљу војнику за једну ноћ да би га штитила од куршума, девет синова изроди мајка, девет бразда на њиви штити од зла и сл.

В. Марјановић

У усменој књижевности најчешће се јављају б. 2, 3, 4, 7, 9, 12, 15, 30, 60, 90, 100, 300, 1.000. Б. 2, као израз дуалистичког принципа, појављује се у свим усменим остварењима о добру и злу (Цар Дуклијан и Крститељ Јован, разговори неба и земље у лирским легендарним песмама, надигравање свеца и ђавола у причама), у питањима и одговорима, у загонетању. Двојна и симетрична композиција карактеристична је за шаљиву причу, за бајке о доброј пасторци која је награђена и злој кћери која је кажњена. Појам побратимства заснива се на двојству, као и посестримство. Низ уводних формула (које већ по себи представљају канонизацију принципа) заснивају се на б. 2 („Гором језде два мила брајана", „Два се мрка захватила вука", „Двије сеје брата не имале", „Дворбу дворе два Јакшића млада").

Б. 3, као најчешћи б., употребљава се и у прози и у поезији (три брата, три цара, три дана, три ветра, три змаја). „Три добра јунака" позната су од косовских песама (Милош Обилић, Иван Косанчић, Милан Топлица), преко песама о хајдучким и ускочким дружинама (три чете, три заседе, три битке), до песама новијих времена (рецимо у песмама о сватовима -- младожења, стари сват и кум). Б. 3 је познат и као „лирски број" (Пошетале три девојке, пожелеле три жеље; „Три године Кате болан лежам"). Има значајну улогу у градацији, нпр. „први севдах -- рана под срдашцем, други севдах -- рана на срдашцу, трећи севдах -- рана у срдашцу". Употребљава се и као мера времена и вредности (три дана, три товара блага, до три крпе платна). Троделна композиција текста спада у најуобичајеније и најчешће се остварује с градацијом (три препреке, три задатка, три гоњења, три знака). Три је и најчешћи множилац, те се тако од њега добијају бројеви 9, 12, 15, 30, 60, 300.

Б. 9, као троструко тројство, одликује се интензитетом и једноврсношћу: нероткиња се опасује са „девет појаса, опаше камен становит, го носи девет месеци"; девет биљака служи једној сврси -- љубавној магији. Девет браће Југовића су једна душа и јединствен појам части и храбрости. Б. 12 такође представља углавном јединство, а с таквим значењем постао је стајаћи („Девојчица и дванаест месеци", дванаест владика, дванаест златних тањира; такође и туце, као старија али и даље актуелна јединица за меру). Б. 15 нема посебну улогу, осим као половина од 30 или четвртина од 60, који углавном служе да означе ратничку пратњу, хајдучку чету, број пушака (тријес добрих друга, тридесет пушака, „Вино пију шездесет Сењана" итд.). Б. 4 најчешће се употребљава у ознакама природних појава (ветрова и делова света, годишњих доба, рађања -- „двије шћери и четири сина"). Б. 7, како се сматра, долази из античке и хришћанске симболике. У епским песмама означава добар плен (седам мазги/ћеса/товара блага) или пуну цену нечега (седам цекина, седам маџарија). Седам „свјецки краљевина", седам краљева, односно „до три цара и седам краљева" представљају у епици општу дефиницију светског поретка.

Двоцифрени и поменути троцифрени б. служе пре свега за хиперболизацију приказивања величине противничке војске коју домаћи јунаци побеђују (нпр. Марко Краљевић) или дужину временског периода (Марко спава три стотине година). Посебан случај представљају градови, карауле, паланке, торине, све што се од људских насеобина може освајати војском, и чији је број обично између 30 и 77 („Прифатише тридест паланаках"; „Док доведе ту поносну Босну / седамдесет и седам градовах"; „Седамдесет обиде торина"). Као појам великог броја јавља се обично стотина којом се означавају најпре богатство и обиље (дукати, цекини, овнови, волови, коњи, говеда), али и предимензиониране казне (стотину тољага, батина), дуг век (стотину година) и јака војска (стотину топова, стотину катана) чије се димензије проширују множењем са хиљаду („Дижи војске стотину хиљада").

Н. Милошевић Ђорђевић

Б. у Библији осим основних вредности имају и симболичко значење. Такво значење се среће и код других античких народа. Питагорејци су б. поставили за основни почетак и суштину ствари одредивши њихова својства и родове. Библиолози (библисти) симболички објашњавају јеврејске б. Б. 3 представља пуноћу савршенства Божанског порекла: створени свет има небо, земљу и подземље. Божанство је тројично: Отац, Син и Свети Дух; одређена је молитва три пута дневно. Скинија и храм имају три дела: двориште, светиња и светиња над светињама. Христос трећег дана васкрсава. Б. 4 је савршенство земаљског порекла: четири краја земље, четири стране света, четири ветра, четири реке наводњавају Едем (рај). Око Божјег престола четири су бића. Б. 5 је половина од 10. Б. 7 је симбол савеза Бога и човека и уопште Бога с творевином, свештени б. који означава пуноћу, јер је збир Божанског (3) и земаљског (4) савршенства: Бог за шест дана ствара свет и седмог дана одмара, чиме је успостављена седмица. Отуда је и пољопривредно земљиште седме године одмарало, тј. није обрађивано. Фараон сања седам родних и седам гладних година. Јаков је за Рахиљу радио код таста седам година, а када су му подметнули њену старију сестру Лију, радио је још седам година да добије и Рахиљу. Псалмопевац Давид за Божје речи каже да су сребро седам пута претопљено. Златни свећњак има седам кракова. Јован Богослов помиње седам цркава у Малој Азији, јерусалимска црква има седам ђакона. У Библији су честа множења са седам. Матеј у Христовој генеалогији наводи три пута по 14 (тј. 2х7) генерација. Христос одређује да брату треба опростити седамдесет пута седам (70х7, тј. виши степен савршенства), а после седам пута седам (49) година долазила је јубиларна година када су робови пуштани на слободу и купљена земља поново враћана њеним бившим власницима. Синедрион има 70 чланова, а Христос има групу од 70 ученика. Јевреји су остали у вавилонском ропству 70 година, а 70 седмина претходи доласку Месијиног царства. Б. 10 је округли б. савршенства јер је Бог дао 10 заповести; 10 драхми, 10 круна на звери, 10 рогова. Б. 12 је производ савршених б. (3х4), представља породицу: Бог је Аврамов, Исаков и Јаковљев (три праоца), а 12 племена је произишло из четири матере: Лије, Рахиље, Вале и Зелфе. Веома често се јавља у Библији: 12 апостола, 12 врата, 12 анђела, 12.000 стадија, 12х12.000 запечаћених итд. Библисти б. 12 тумаче као б. виолинске скале која садржи 12 полутонова, али да би скала била затворена, треба додати 13. полутон. Паралела је нађена у 12+1 израиљском племену (у деоби земље Јосифови синови добили су сваки по део иако су били унуци а не синови Јаковљеви) и 12+1 Христовом апостолу (Дванаесторица плус апостол Павле). Б. 40 (4х10) у Библији означава дуг период (два поколења): киша пред потоп пада 40 дана и 40 ноћи; Израиљци по изласку из египатског ропства лутају пустињом 40 година; осуђенику се није смело ударити више од 40 батина; породиља је после рођења детета нечиста 40 дана; Ниневија добија рок од 40 дана да се покаје. Мојсеј, Илија и Христос посте 40 дана.

Средњовековни Срби били су веома посвећени цркви, а из библијских читања на богослужењима, из проповеди свештеника, из зидног живописа, знали су за библијски симболизам б. Зато не зачуђује да у говору и народној књижевности има трагова тог симболизма.

Р. Милошевић

ЛИТЕРАТУРА: Т. Маретић, Наша народна епика, Бг 1966; Ш. Кулишић, П. Ж. Петровић, Н. Пантелић, Српски митолошки речник, Бг 1970; В. Н. Топоров, „О числовых моделях в архаичных текстах", у: Структура текста, Москва 1980; Д. Трифуновић, „Математика у Вуковом Буквару", Учитељ, Бг, 1986, 20; М. Стевановић, Савремени српскохрватcки језик (Граматички системи и књижевнојезичка норма), I--II, Бг 1991; А. Ивић, Увод у аналитичку теорију бројева, Ср. Карловци -- Н. Сад 1996; Е. Р. Курциус, Европска књижевност и латински средњи век, Бг 1996; Љ. Раденковић, Симболика света у народној магији Јужних Словена, Ниш 1996; Р. Ракић, Библијска енциклопедија, Србиње--Бг 2004; П. Пипер и др., Синтакса савременога српског језика: Проста реченица, Н. Сад -- Бг 2005; Ж. Стaнojчић, Љ. Поповић, Грaмaтикa српскoг jeзикa, Бг 2010; Ж. Станојчић, Граматика српског књижевног језика, Бг 2010.