ГЕОМЕТРИЈА

ГЕОМЕТРИЈА (грч. gh': земља, mevtron: мера), једна од најстаријих математичких дисциплина, која изучава просторне објекте (тачке, линије, површи) и њихове односе. Емпиријски почеци везани су за астрономска посматрања у Месопотамији и премеравања земље у Египту. У Александрији, у III в. п.н.е., настали су Еуклидови Елементи : обухватали су скоро сва математичка знања тог времена и преко две хиљаде година служили као образац математичког мишљења, тако да су до пре сто година коришћени и као уџбеник г. у средњим школама. Истовремено, према Кулиџу, „сумњама око Еуклидовог постулата о паралелним правама и напорима многих генерација мислилаца да разреше те сумње, дугујемо, између осталог, модерни, апстрактни концепт математичке науке" (J. L. Coolidge). Као пример, довољно је навести Хилбертове Основе геометрије ( Grundlagen der Geometrie , Leipzig 1899), где се не дају ни опис ни дефиниција тачке, праве и равни. Говори се само о три врсте објеката који задовољавају одређене почетне услове. Диференцијални и интегрални рачун, један од изузетних проналазака људског ума, настао је на основу напора многобројних аутора да одреде тангенте и кривине равних и просторних кривих. Затим су тај рачун Ојлер, Гаус и Риман као и многи други, успешно примењивали на решавање разних геометријских проблема и при том отварали и стварали нове области истраживања. Овде треба споменути и Декартову Геометрију ( La Geometrie ), као један од три додатка уз његов спис Реч о методи ( Discours de la method pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences , Leiden 1637), која је, скоро у исто време, једном заувек, повезала алгебру и г . Први уџбеник г. на српском језику је Елементарна геометрія: устроєна за употребленіє слишателя філософіє у Ліцеуму Княжества Сербіє (Бг 1841) Атанасија Николића. Садржај обухвата планиметрију, тригонометрију и стереометрију, а одговара ономе што се и данас из г. изучава у средњим школама. Убрзо по оснивању Математичког института САНУ (1946) преведена су, у оквиру едиције Класични научни списи , три историјска капитална дела из г . То су 13 књига Еуклидових Елемената (1949 – 1957, превод Антон Билимович), Основи геометрије (1957, превод Ж. Гарашанин) Давида Хилберта и Геометријско испитивање из паралелних линија (1951, превод Бранислав Петронијевић) Николаја Лобачевског. До почетка 30-их година прошлог века на Београдском универзитету г. се није адекватно предавала и неговала. 

 На Одсеку за математику Филозофског факултета у Београду први курс синтетичке г. установљен је 1938. под називом Елементарна г. , да би 1945. била уведена још два курса: Нацртна г. и Виша г . Курс Елементарна г. није само први аксиоматски заснован курс синтетичке г. него уопште прво аксиоматско излагање неке математичке дисциплине на Београдском универзитету. Штавише, у књизи Елементарна геометрија (Бг 1961) насталој на основу овог курса, Милош Радојчић је изложио свој прилаз аксиоматици еуклидске г. , заснован на само једном објекту (тачка) и на само две релације (између и подударно). Милош Радојчић је, такође, изградио аксиоматику специјалне теорије релативности ( Une construction axiomatique de la théorie de l'espace - temps de la relativité restreinte, Бг 1973). Филозофски факултет у Новом Саду почео је са радом школске 1956/57. Од предмета посвећених г. студенти математике су слушали: Нацртну г. , Основе г. , Пројективну г. , Нееуклидске г. и Диференцијалну г . Прво предавање посвећено г. одржао је академик Радивоје Кашанин, а први наставник била је Милева Првановић. Она је први доктор математике из области г. у Србији, а на Универзитету у Загребу 1955. докторирала је код професора Данила Блануше из области парагеодезијских кривих и парагеодезијских простора. За њеног асистента је 1960. изабрана Јудита Цофман која је 1963. докторирала тезом из области г. и тиме постала први доктор математике са Универзитета у Новом Саду. На Београдском Универзитету прва је из г . докторирала Загорка Шнајдер 1960. Филозофски факултет у Нишу почео је са радом школске 1971/72, а студенти математике су од геометријских предмета слушали: Нацртну г. , Основе г. , Аналитичку г. и Диференцијалну г . Први наставник г. био је Светислав Минчић. У Крагујевцу је школске 1972/73. почело са радом Одељење ПМФ из Београда, које је 1976. постало самосталан ПМФ у Крагујевцу. Од геометријских предмета студенти математике су слушали: Нацртну г. , Основе г. (Еуклидска г. и г. Лобачевског), Аналитичку г. , Диференцијалну г . 

 Развоју г. код Срба на темељу доприноса Н. Лобачевског и његове примене на специјалну теорију релативности дао је Владимир Варићак. На даљем развоју синтетичке г. радили су Драгомир Лопандић и Зоран Лучић, Драгољуб Цветковић, а Мирољуб Милојевић је, полазећи од пројективних модела, разрађивао аксиоматике нееуклидских г. у равни. На методама нацртне г. у простору Лобачевског радили су Загорка Шнајдер и Ћемал Долићанин. Јудита Цофман је добила значајне резултате у теорији коначних пројективних равни. Драгослав Љубић се бавио н-димензионалним групама изометрија. Мирјана Бабић и Срђан Букмировић су поставили и решили неке проблеме визуализације простора Лобачевског. На теорији линкова и чворова радили су Славик Јаблен, Радмила Саздановић и Љиљана Радовић, а Милица Стојановић – на хиперболичним групама. Класификацији равних дисконтинуираних група посвећен је један рад Зорана Лучића. На визуализацији, анимацији и развоју софтвера, пре свега у домену класичне диференцијалне г. , радила је Весна Величковић. 

 Диференцијална г. је од времена Ојлера, Гауса и Римана до данас постала веома разграната математичка дисциплина. Осим посебних г. , као што су Риманова и њена многобројна уопштења (Финслерова, Вејлова, Вокерова, Риман-Отсукијева, Вејл-Отсукијева), изучавају се диференцијабилне многострукости које су снабдевене симетричном или несиметричном афином конексијом, одређеном алгебарском структуром (Хермитове и сличне многострукости), подмногострукости, геодезијска, пројективна, холоморфно-пројективна и конформна пресликавања. Свим овим истраживањима значајан допринос дали су српски математичари: Неда Бокан, Новица Блажић, Љубица Велимировић, Срђан Вукмировић, Мирјана Ђорић, Ђерђи Нађ, Емилија Нешовић, Јованка Никић, Стана Никчевић, Мирослава Петровић Торгашев, Милева Првановић, Невена Пршић, Зоран Ракић, а Ирена Чомић је, осим у Финслеровој г. , интензивно радила у области Лагранжових, Хамилтонових као и оскулаторних простора вишег реда, а Мирјана Ђорић у теорији CR-подмногострукости комплексних простора. Ивко Димитрић је обрађивао проблематику подмногострукости коначног типа, а Оливера Миленковић се бавила фином резолуцијом праменова клица векторских поља на реалним и комплексним многострукостима. 

 Радећи на разним варијантама Јединствене теорије поља, А. Ајнштајн је, почев од 1950, користио несиметричан метрички тензо, чији се симетрични део односи на гравитацију, а несиметрични – на електромагнетизам. Докторска дисертација Светислава Минчића (1975), а затим и многобројни његови радови посвећени су овој теорији. На њеном даљем развоју и уопштавању, осим С. Минчића, радили су: Љубица Велимировић, Милан Златановић и Мића Станковић. У последње време Бранко Драговић и Зоран Ракић (са сарадницима) баве се проблемима модификације Ајнштајнове теорије гравитације. 

 На теорији декомпозиција разних кривинских оператора и њиховој геометријској реализацији, радиле су Неда Бокан, Стана Никчевић и Зоран Ракић, а на примени спектралне г. на афину, пројективну и Вејлову г. – Неда Бокан, Новица Блажић и Стана Никчевић. Геометријске структуре одређене малим геодезијским сферама, изучавале су Неда Бокан и Мирослава Ђорић, а мале деформације површи – Љубица Велимировић и Милица Илић Дајовић. 

 Многе особине диференцијабилних многострукости које су снабдевене недефинитном метриком су специфичне и захтевају посебне методе истраживања. Применом Јакобијевог оператора, Владица Андрић, Неда Бокан, Новица Блажић, Срђан Вукмировић и Зоран Ракић изучавали су Осерманове, конформно-Осерманове и Лоренц-Осерманове многострукости, као и принцип дуалности (познат као Ракићев принцип дуалности) таквих многострукости. 

 Такође су специфични и многи проблеми диференцијабилних многострукости малих димензија. И у овој области, српски математичари су дали значајан допринос. Тако је Мирослава Антић испитивала 3 и 4-димензионе подмногострукости сфере S 6 – еквидистантне инволуције хиперболичне равни, низове минималних површи, а Новица Блажић, Неда Бокан и Срђан Вукмировић – одређене 4-димензионе Лиове алгебре. Примере аутодуалних Ајнштајнових метрика сигнатуре (2,2) дали су Новица Блажић и Срђан Вукмировић, а примере косих површи у близу-Келеровој сфери S 6 – K. Обреновић и Срђан Вукмировић. Решење Јанг-Милових једначина на уопштеним Хопфовим свежњевима дали су Блажић и Вукмировић. Показало се да су тзв. δ-кривине (које је раних 90-их година увео Б. Ј. Чен) веома погодне за испитивање и повезивање унутрашњих и спољашњих инваријаната подпростора псеудо-Риманових простора. У овој области значајне резултате добила је Мирослава Петровић Торгашев. 

 ЛИТЕРАТУРА: В. Драговић, Д. Милинковић, Анализа на многострукостима , Бг 2003; М. Đorić, M. Okumura, CR – Submanifolds of Complex Projective Space , New York – Dordrecht – Heidelberg – London 2009; З. Лучић, Огледи из историје античке геометрије , Бг 2009; С. Минчић, Љ. Велимировић, Диференцијална геометрија многострукости , Ниш 2011. 

 Милева Првановић 

   

 *Текст је објављен у 1. књизи III тома Српске енциклопедије (2018)